बाइनोमियल ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल

Binomial ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल किसी ऑप्शन के सैद्धांतिक मूल्य का अनुमान लगाने के लिए प्राइस ट्री का उपयोग करता है. प्रत्येक चरण में, अंडरलाइंग एसेट की कीमत को ऊपर या नीचे जाने के लिए माना जाता है.

• समाप्ति का समय निश्चित अंतराल में विभाजित किया जाता है.
• प्रत्येक अंतराल में ऊपर और नीचे की तरफ प्राइस मूवमेंट होता है.
• ऑप्शन पेऑफ की गणना समाप्ति पर की जाती है.
• इसके बाद मूल्यों को प्रस्तुत करने के लिए पीछे की ओर काम किया जाता है.
• मूल्यांकन के लिए रिस्क-न्यूट्रल संभावनाओं का उपयोग किया जाता है.
• यह मॉडल अमेरिकी विकल्पों में शुरुआती व्यायाम का हिसाब लगा सकता है.
• अधिक चरण आमतौर पर अधिक विस्तृत अनुमान प्रदान करते हैं.
• गणना की गई वैल्यू ऑप्शन की मार्केट कीमत से अलग हो सकती है.
  

Binomial ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल, या BOPM, एक संख्यात्मक तरीका है जिसका उपयोग किसी विकल्प के सैद्धांतिक मूल्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है.

यह एक ऐसा वृक्ष बनाता है जो अलग-अलग कीमतों को दिखाता है कि ऑप्शन समाप्त होने से पहले अंडरलाइंग एसेट पहुंच सकता है. हर चरण में, कीमत दो दिशाओं में से एक में मूव होने का अनुमान लगाया जाता है:

• ऊपर

• नीचे

  
  

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि शेयर की कीमत वर्तमान में ₹100 है. एक अवधि के बाद, मॉडल मान सकता है कि इसकी कीमत या तो ₹120 तक बढ़ जाएगी या ₹90 तक गिर जाएगी.

मॉडल दोनों परिणामों के तहत ऑप्शन पेऑफ की गणना करता है. इसके बाद यह विकल्प की वर्तमान वैल्यू का अनुमान लगाने के लिए जोखिम-केंद्रित संभावनाओं और जोखिम-मुक्त ब्याज दर का उपयोग करता है.

यह मॉडल विशेष रूप से अमेरिकन विकल्पों के लिए उपयोगी है, जिसका उपयोग समाप्ति से पहले किसी भी समय किया जा सकता है.

इसके अलावा पढ़ें: फ्यूचर्स और ऑप्शन्स क्या हैं

यह मॉडल अंडरलाइंग एसेट की कीमत में संभावित उतार-चढ़ाव दिखाने के लिए एक बाइनोमियल ट्री का उपयोग करता है, जिसे प्राइस ट्री या लैटिस भी कहा जाता है.

1. बाइनोमियल ट्री कंस्ट्रक्शन

समाप्ति तक शेष समय को निश्चित अंतराल या चरणों में विभाजित किया जाता है.

वृक्ष के हर बिंदु पर, जिसे नोड कहा जाता है, एसेट की कीमत ऊपर या नीचे जा सकती है. इन मूवमेंट का आकार आमतौर पर प्रत्येक चरण की अस्थिरता और लंबाई पर आधारित होता है.

उदाहरण के लिए, दो-चरण मॉडल में, कीमत पहले बढ़ सकती है या गिर सकती है. उन प्रत्येक कीमतों से, अगले चरण के दौरान यह फिर से बढ़ या गिर सकता है.

2. रिस्क-न्यूट्रल वैल्यूएशन

मॉडल रिस्क-न्यूट्रल वैल्यूएशन का उपयोग करता है. इस दृष्टिकोण के तहत, अंतर्निहित एसेट पर अपेक्षित रिटर्न गणना के उद्देश्यों के लिए जोखिम-मुक्त ब्याज दर से लिंक किया जाता है.

रिस्क-न्यूट्रल संभावना एक गणितीय इनपुट है. यह एसेट की कीमत बढ़ने या गिरने की वास्तविक संभावना का अनुमान नहीं लगाता है.

3. विकल्प मूल्यांकन

ऑप्शन के भुगतान की गणना पहले ट्री के अंतिम नोड्स पर की जाती है.

कॉल विकल्प के लिए:

कॉल पेऑफ = ₹0 से अधिक या अंडरलाइंग प्राइस माइनस स्ट्राइक प्राइस

एक पुट ऑप्शन के लिए:

पुट पेऑफ = ₹0 से अधिक या स्ट्राइक प्राइस माइनस अंडरलाइंग प्राइस

मान लीजिए कि कॉल ऑप्शन की स्ट्राइक कीमत ₹100 है. अगर समाप्ति पर अंडरलाइंग एसेट की कीमत ₹125 है, तो भुगतान ₹25 है. अगर एसेट की कीमत ₹90 है, तो भुगतान शून्य है.

इसके बाद मॉडल प्रत्येक पहले के नोड पर संभावित-भारित वैल्यू की गणना और डिस्काउंटिंग करके ट्री के माध्यम से पीछे की ओर काम करता है.

4. निर्णय नोड्स और अर्ली एक्सरसाइज़

यह मॉडल अमेरिकी विकल्पों के शुरुआती उपयोग का हिसाब लगा सकता है.

समाप्ति से पहले प्रत्येक नोड पर, यह तुलना करता है:

• तुरंत एक्सरसाइज़ विकल्प की वैल्यू
• होल्ड करना जारी रखने की अनुमानित वैल्यू. उच्च मूल्य का उपयोग किया जाता है.

उदाहरण के लिए, अगर अमेरिकन पुट का उपयोग करना ₹20 का उत्पादन करता है, तो इसे होल्ड करना जारी रखते हुए इसकी अनुमानित वैल्यू ₹17 है, तो शुरुआती व्यायाम को उस नोड पर बेहतर विकल्प माना जा सकता है.

5. ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में कन्वर्जेंस

केवल एक या दो चरणों वाला एक वृक्ष एक सरल अनुमान प्रदान करता है. जैसे-जैसे कदमों की संख्या बढ़ती है, अंतराल छोटा हो जाता है, और वृक्ष अधिक विस्तृत हो जाता है. इसी तरह की धारणाओं में, परिणाम आमतौर पर ब्लैक-स्कोल्स मॉडल द्वारा उत्पादित मूल्य के करीब जाता है.

मॉडल का उपयोग विभिन्न प्राइस-मूवमेंट परिस्थितियों में ऑप्शन वैल्यू का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है.

• अमेरिकी विकल्पों का मूल्यांकन

  
  

  यह मूल्यांकन कर सकता है कि समाप्ति से पहले किसी अमेरिकन विकल्प का उपयोग करना लाभदायक हो सकता है या नहीं.

• प्राइस मूवमेंट को समझना

  
  

  ट्री दिखाता है कि अंडरलाइंग एसेट में अपवर्ड और डाउनवर्ड मूवमेंट ऑप्शन की वैल्यू को कैसे प्रभावित कर सकते हैं.

  
  

• ऑप्शन संवेदनशीलता का आकलन करना

  
  

  आप कीमत, उतार-चढ़ाव, ब्याज दर और समाप्ति के समय जैसे इनपुट बदल सकते हैं ताकि यह देख सकें कि अनुमानित ऑप्शन वैल्यू कैसे प्रतिक्रिया करती है. उदाहरण के लिए, उच्च अनुमानित उतार-चढ़ाव भविष्य की कीमतों की विस्तृत रेंज बनाता है, जो सैद्धांतिक ऑप्शन वैल्यू को प्रभावित कर सकता है.

  
  

• जटिल भुगतान संरचनाओं का मूल्यांकन

  
  

  मॉडल के संशोधित वर्ज़न का उपयोग कुछ बैरियर विकल्पों और पाथ-डिपेंडेंट विकल्पों के लिए किया जा सकता है. इन कॉन्ट्रैक्ट के लिए अतिरिक्त गणना की आवश्यकता पड़ सकती है क्योंकि उनकी वैल्यू अंडरलाइंग एसेट के आधार पर निर्धारित की जा सकती है.

  
  

• रिस्क मैनेजमेंट एनालिसिस

  
  

  यह मॉडल ट्रेडर्स और विश्लेषकों को विभिन्न धारणाओं के तहत संभावित जोखिमों और परिणामों की तुलना करने में मदद करता है. हालांकि, यह अनुमान नहीं लगा सकता है कि कौन सा परिणाम होगा.

  
  

• शैक्षिक और विश्लेषणात्मक उपयोग

  
  

  इसकी चरण-दर-चरण संरचना इसे समझने के लिए उपयोगी बनाती है कि ऑप्शन कीमतों की गणना कैसे की जाती है.

  
  

• अन्य मॉडल के साथ तुलना करना

  
  

  परिणाम की तुलना ब्लैक-स्कोल्स जैसे मॉडल द्वारा उत्पादित वैल्यू के साथ की जा सकती है. अंतर उत्पन्न हो सकते हैं क्योंकि मॉडल अलग-अलग धारणाओं का उपयोग करते हैं.

  
  
  

BOPM कई आसान अनुमानों का उपयोग करता है.

1. विसंगत समय

मॉडल समय को अलग अंतराल में विभाजित करता है. प्रत्येक अंतराल के अंत में, अंडरलाइंग एसेट की कीमत ऊपर या नीचे जा सकती है.

2. आर्बिट्रेज नहीं

मॉडल यह मानता है कि संबंधित सिक्योरिटीज़ के बीच कीमत के अंतर से जोखिम-मुक्त लाभ अर्जित करने के कोई अवसर नहीं हैं. यह धारणा निरंतर ऑप्शन की कीमत बनाए रखने में मदद करती है.

3. दो संभावित परिणाम

प्रत्येक चरण में, अंडरलाइंग एसेट की कीमत या तो ऊपर के कारक से बढ़ सकती है या नीचे के कारक से गिर सकती है. वास्तविक मार्केट की कीमतें कई अलग-अलग राशियों से चल सकती हैं, लेकिन मॉडल उन्हें दो संभावित परिणामों में आसान बनाता है.

4. निरंतर अस्थिरता

मॉडल का एक बुनियादी वर्ज़न मानता है कि ऑप्शन के जीवन के दौरान अस्थिरता स्थिर रहती है. वास्तविक उतार-चढ़ाव बदल सकता है. अधिक एडवांस्ड वर्ज़न विभिन्न चरणों में विभिन्न उतार-चढ़ाव की धारणाओं का उपयोग कर सकते हैं.

5. ब्याज दर की धारणाएं

मॉडल आमतौर पर भविष्य के ऑप्शन वैल्यू को डिस्काउंट करने के लिए एक ज्ञात जोखिम-मुक्त ब्याज दर का उपयोग करता है. बुनियादी मॉडल यह मान सकते हैं कि यह दर मूल्यांकन अवधि के दौरान स्थिर रहती है.

6. डिविडेंड ट्रीटमेंट

एक बुनियादी उदाहरण यह मान सकता है कि अंडरलाइंग एसेट डिविडेंड का भुगतान नहीं करता है. हालांकि, मॉडल के एडजस्टेड वर्ज़न में अपेक्षित डिविडेंड या डिविडेंड यील्ड शामिल हो सकते हैं क्योंकि डिविडेंड भुगतान एसेट की कीमत और शुरुआती एक्सरसाइज़ निर्णयों को प्रभावित कर सकते हैं.

मॉडल में इस्तेमाल किए जाने वाले मुख्य इनपुट में शामिल हैं:

• वर्तमान अंडरलाइंग एसेट की कीमत
• स्ट्राइक प्राइस
• समाप्ति का समय
• उतार-चढ़ाव
• जोखिम-मुक्त ब्याज दर
• अपेक्षित डिविडेंड, जहां लागू हो
• अप फैक्टर
• डाउन फैक्टर
• जोखिम-न्यूट्रल संभावना

1. अप और डाउन फैक्टर की गणना

u द्वारा प्रस्तुत अप फैक्टर, यह दर्शाता है कि एक चरण के दौरान एसेट की कीमत कितनी बढ़ सकती है.

डाउन फैक्टर, डी द्वारा प्रतिनिधित्व करता है, यह दिखाता है कि यह कितना गिर सकता है.

अगर वर्तमान एसेट की कीमत:

• ऊपर की कीमत = S × u
• डाउनवर्ड प्राइस = S × d

2. जोखिम-न्यूट्रल संभावना

p द्वारा प्रतिनिधित्व की जाने वाली रिस्क-न्यूट्रल संभावना का उपयोग ऊपर के परिणाम के लिए किया जाता है. डाउनवर्ड परिणाम का भार 1 − p है.

डिविडेंड के बिना बेसिक मॉडल में:

p = (रिस्क-फ्री ग्रोथ फैक्टर − d) ÷ (u − d)

परिणाम सामान्य रूप से शून्य और एक के बीच होना चाहिए ताकि मान्य नो-आर्बिट्रेज गणना को सपोर्ट किया जा सके.

3. अंतिम नोड्स पर विकल्प मूल्यांकन

समाप्ति पर, भुगतान की गणना हर अंतिम नोड पर की जाती है.

कॉल ऑप्शन के लिए:

स्ट्राइक प्राइस को घटाकर अधिकतम ₹0 या एसेट प्राइस

एक पुट ऑप्शन के लिए:

अधिकतम ₹0 या स्ट्राइक प्राइस माइनस एसेट प्राइस

4. भविष्य के मूल्यों पर डिस्काउंटिंग

अंतिम विकल्प वैल्यू को जोखिम-निरपेक्ष संभावनाओं का उपयोग करके भारित किया जाता है और जोखिम-मुक्त दर पर छूट दी जाती है.

वन-पीरियड मॉडल के लिए:

ऑप्शन वैल्यू टुडे = [p × अपवर्ड पेऑफ + (1 − p) × डाउनवर्ड पेऑफ] की डिस्काउंटेड वैल्यू

मल्टी-स्टेप मॉडल के लिए, यह प्रोसेस ट्री के माध्यम से पीछे की ओर दोहराई जाती है.

मान लीजिए कि XYZ लिमिटेड के शेयर ₹150 पर ट्रेडिंग कर रहे हैं. एक वर्ष की कॉल ऑप्शन की स्ट्राइक कीमत ₹160 है.
अनुमान हैं:

• वर्तमान शेयर की कीमत: ₹150
• स्ट्राइक प्राइस: ₹160
• समाप्ति का समय: 1 वर्ष
• जोखिम-मुक्त दर: 6%
• अप फैक्टर: 1.30
• डाउन फैक्टर: 0.80

1. द्वि-मूल्य वृक्ष का निर्माण

प्राइस मूवमेंट की संभावित कीमत
ऊपर की ओर मूवमेंट ₹150 x 1.30 ₹195
डाउनवर्ड मूवमेंट ₹150 x 0.80 ₹120

2. अंतिम नोड्स पर विकल्प की कीमतों की गणना

शेयर प्राइस कैलकुलेशन कॉल पेऑफ
₹195 ₹195 − ₹160 ₹35
₹120 अधिकतम ₹0 या ₹120 - ₹160 ₹0

3. आज की ऑप्शन कीमत की गणना करना

जोखिम-न्यूट्रल संभावना है:
p = (1.06 − 0.80) ÷ (1.30 − 0.80)
p = 0.52
अपवर्ड परिणाम का भार 0.52 होता है, जबकि डाउनवर्ड परिणाम का भार 0.48 होता है.
भविष्य में अपेक्षित भुगतान है:
(₹35 × 0.52) + (₹0 × 0.48) = ₹18.20
इसके बाद मूल्य पर छूट दी जाती है:
₹18.20 ÷ 1.06 = लगभग ₹17.17
इसलिए, कॉल ऑप्शन की अनुमानित वर्तमान वैल्यू लगभग ₹17.17 है.
यह एक सैद्धांतिक अनुमान है. बदलती अस्थिरता, लिक्विडिटी, ट्रांज़ैक्शन लागत, मांग और आपूर्ति के कारण वास्तविक मार्केट कीमत अलग हो सकती है.

• पारदर्शी गणना
  ट्री स्पष्ट रूप से दिखाता है कि विभिन्न परिस्थितियों में अंडरलाइंग एसेट और ऑप्शन वैल्यू कैसे बदलती हैं.
• मल्टी-पीरियड व्यू
  समाप्ति के समय को कई चरणों में विभाजित किया जा सकता है, जो संभावित प्राइस मूवमेंट का विस्तृत दृश्य प्रदान करता है.
• अमेरिकन विकल्पों के लिए सुविधा
  मॉडल प्रत्येक नोड पर निरंतर होल्डिंग के साथ तुरंत एक्सरसाइज़ की तुलना कर सकता है.
• एडजस्टेबल धारणाएं
  संशोधित वर्ज़न में डिविडेंड, विभिन्न वोलैटिलिटी लेवल और अन्य कॉन्ट्रैक्ट फीचर शामिल हो सकते हैं.
• परिस्थिति विश्लेषण
  इनपुट्स को यह समझने के लिए बदला जा सकता है कि विभिन्न धारणाएं सैद्धांतिक ऑप्शन कीमत को कैसे प्रभावित करती हैं.
  

• कंप्यूटेशनल जटिलता

  
  

  अधिक चरणों के साथ गणनाओं की संख्या बढ़ जाती है. बड़े वृक्षों की गणना आमतौर पर सॉफ्टवेयर का उपयोग करके की जाती है.

  
  

• इनपुट पर निर्भरता

  
  

  परिणाम उतार-चढ़ाव, ब्याज दरें, डिविडेंड और प्राइस-मूवमेंट कारकों जैसी धारणाओं पर निर्भर करता है. गलत धारणाएं गलत अनुमान उत्पन्न कर सकती हैं.

  
  

• सरलीकृत मूवमेंट्स

  
  

  बेसिक मॉडल प्रत्येक चरण में केवल दो प्राइस मूवमेंट की अनुमति देता है. वास्तविक मार्केट की कीमतें अलग-अलग राशियों से चल सकती हैं या अचानक बदलाव का अनुभव कर सकती हैं.

  
  

• विभिन्न मॉडल वेरिएशन

  
  

  कारकों, डाउन फैक्टर और संभावनाओं को चुनने के विभिन्न तरीके अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं.

  
  

• मार्केट की कीमतों से अंतर

  
  

  यह मॉडल सैद्धांतिक वैल्यू प्रदान करता है. वास्तविक ऑप्शन कीमत खरीदारों और विक्रेताओं द्वारा निर्धारित की जाती है और लिक्विडिटी, बिड-आस्क स्प्रेड और मार्केट सेंटीमेंट से प्रभावित हो सकती है.

  
  
  

Binomial ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल अंडरलाइंग एसेट की कीमत में संभावित ऊपर और नीचे की गतिविधियों को मैप करके ऑप्शन के सैद्धांतिक मूल्य का अनुमान लगाता है.
यह समाप्ति पर ऑप्शन पेऑफ की गणना करता है और फिर रिस्क-न्यूट्रल वैल्यूएशन का उपयोग करके ट्री के माध्यम से वापस काम करता है. यह मॉडल विशेष रूप से अमेरिकन विकल्पों के लिए उपयोगी है क्योंकि यह समाप्ति से पहले शुरुआती एक्सरसाइज़ का आकलन कर सकता है.
हालांकि, परिणाम उतार-चढ़ाव, ब्याज दरों और अपेक्षित प्राइस मूवमेंट जैसी धारणाओं पर निर्भर करता है. इसलिए इसे सटीक या गारंटीड मार्केट प्राइस के बजाय वैल्यूएशन एस्टीमेट के रूप में समझा जाना चाहिए.